Métrica de Kähler-Einstein

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En geometría diferencial, una métrica de Kähler-Einstein en una variedad compleja es una métrica de Riemann que es a la vez una métrica de Kähler y una métrica de Einstein. Se dice que una variedad es Kähler-Einstein si admite una métrica de Kähler-Einstein. El caso especial más importante de estos son los colectores de Calabi-Yau, que son Kähler y Ricci plano.

El problema más importante para esta área es la existencia de métricas Kähler-Einstein para colectores Kähler compactos.

En el caso en el que hay una métrica de Kähler, la curvatura de Ricci es proporcional a la métrica de Kähler. Por lo tanto, la primera clase de Chern es negativa, cero o positiva.

Cuando la primera clase de Chern es negativa, Aubin y Yau demostraron que siempre hay una métrica de Kähler-Einstein.

Cuando la primera clase de Chern es cero, Yau demostró la conjetura de Calabi de que siempre hay una métrica de Kähler-Einstein. Shing-Tung Yau fue galardonado con su medalla Fields debido a este trabajo. Eso lleva al nombre de variedades de Calabi-Yau.

El tercer caso, el positivo o el caso Fano, es el más difícil. En este caso, hay una obstrucción no trivial a la existencia. En 2012, Chen, Donaldson y Sun demostraron que en este caso la existencia es equivalente a un criterio algebro-geométrico llamado K-estabilidad. Su prueba apareció en una serie de artículos en el Journal of the American Mathematical Society.[1][2][3]

Cuando la primera clase de Chern no es definitiva, o tenemos una dimensión de Kodaira intermedia, encontrar la métrica canónica sigue siendo un problema abierto, que se denomina conjetura de Algebrización mediante el Teorema de Modelo Mínimo Analítico.[4]​ Conjetura de unificación de geometrización con conjetura de algebrización y conjetura de análisis referida como teorema de Song-Tian[5]

Referencias[editar]

  1. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds. I: Approximation of metrics with cone singularities. J. Amer. Math. Soc. 28 (2015), no. 1, 183–197.
  2. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds. II: Limits with cone angle less than 2π . J. Amer. Math. Soc. 28 (2015), no. 1, 199–234.
  3. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds. III: Limits as cone angle approaches 2π and completion of the main proof. J. Amer. Math. Soc. 28 (2015), no. 1, 235–278.
  4. Jian Song, Gang Tian,The Kahler-Ricci flow through singularities, https://arxiv.org/abs/0909.4898
  5. (time 21:30)https://www.youtube.com/watch?v=eNgUQlpc1m0